БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ
Смотреть больше слов в «Энциклопедическом словаре Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона»
Смотреть что такое БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ в других словарях:
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ
Бесселевы функции или цилиндрические функции, или цилиндрические гармоники — выражения, введенные в анализ и в особенности в небесную механику немецким астрономом Бесселем и потому носящие его имя. Во Франции еще раньше Бесселя подобные функции рассматривал Фурье в теории теплоты, и потому их называют также иногда еще функциями Фурье-Бесселя. Б. ф. можно ввести в рассмотрение весьма различным образом, смотря по той цели, к которой они применяются. Можно исходить из некоторых разложений в ряд тригонометрический, или по степеням независимой переменной, или из дифференциального уравнения второго порядка, которому удовлетворяют эти функции. Обозначая функции 0-го, 1-го, 2-го... порядка, как это общепринято, буквами J <sub>0</sub>(x), J<sub>1</sub>(x), J<sub>2</sub> (x)... имеем, например: cos(xsin φ) = J<sub>0</sub>(x) + 2J<sub>2</sub>(x)cos2 φ + 2J<sub>4</sub>(x)cos4 φ + … sin(xsin φ) = 2J<sub>1</sub>(x)sin φ + 2J<sub>3</sub>(x)sin3 φ + … или e <sup>½x(z—1/z)</sup> = J<sub>0</sub>(x)+J<sub>2</sub>(x)[z<sup>2</sup>+(1/z<sup>2</sup>)]+J<sub>0</sub>(x)[z<sup>4</sup>+(1/z<sup>4</sup>)]+J<sub>1</sub>(x)(z — 1/z)+J<sub>3</sub>(x)(z<sup>3</sup> — 1/z<sup>3</sup>)+…, а дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют Б. функции n-го порядка, есть d<sup>2</sup>J<sub>n</sub>(x)/dx<sup>2</sup> + (1/x)(dJ<sub>n</sub>(x)/dx + [1 — n<sup>2</sup>/x<sup>2</sup>]J<sub>n</sub>(x) = 0 Между тремя последовательными Б-ми функциями существует простое соотношение: xJ<sub>n</sub> + 1(x) — 2nJ<sub>n</sub>(x) + xJ<sub>n</sub> — 1(x) = 0 из которого явствует, что достаточно знать значения двух каких-нибудь из Б.-вых функций, напр. J <sub>0</sub> и J <sub>1</sub>, чтобы можно было найти все остальные посредством простых арифметических операций. Отсюда же легко получить следующую непрерывную дробь, позволяющую вычислять с произвольной степенью точности значения какой угодно Б-вой функции: P = (½n)/x — [1/(2n+2)]/x — [1/(2n+4)]/x — … Для этого стоит только положить J <sub>n</sub> = p<sub>n</sub>J<sub>n</sub> — 1, откуда будет вообще Jn = p <sub>1</sub> p<sub>2 </sub>... pn J<sub>0</sub>, а это непосредственно приводит к написанной непрерывной дроби. Б.-вы функции могут также быть представлены и притом несколькими способами в виде определенного интеграла, а именно: Разложенная в ряд Б-ва функция n-го порядка есть: Определение Б.-вой функции посредством определенного интеграла или ряда может быть распространено и на случай нецелого значения показателя n с условием в последнем случае n + 1 больше 0. Так, напр., из интеграла получается: Употребление функций Бесселя в анализе, в теории теплоты и в небесной механике основано на том, что многие разложения в ряд могут быть сделаны с удобством посредством именно этих функций. Так, напр., имеем: cosx = J<sub>0</sub>(x) — 2J<sub>2</sub>(x) + 2J<sub>4</sub>(x) — … sinx = 2J<sub>1</sub>(x) — 2J<sub>3</sub>(x) + 2J<sub>5</sub>(x) — … ½ = 1/2J<sub>0</sub>(x) + J<sub>2</sub>(x) + J<sub>4</sub>(x) + … ½x = J<sub>1</sub>(x) + 3J<sub>3</sub>(x) + 5J<sub>5</sub>(x) + … ½x<sup>2 </sup>= 2<sup>2</sup>J<sub>2</sub> (х) + 4 <sup>2</sup>J<sub>4</sub> (х) + … ½x<sup>3</sup>= 3(3<sup>2</sup> — 1)J<sub>3</sub>(x) + 5(5<sup>2</sup> —<sup> </sup>1)J<sub>5</sub>(x) + … Такие разложения в ряд играют важную роль в теории возмущений планетных движений. Эти же функции интегрируют в анализе известное дифференциальное уравнение Риккати. Заметим в заключение, что функции Бесселя можно рассмативать как частный случай функций Лежандра, или шаровых функций, или сферических гармоник, т. е. функций, удовлетворяющих уравнению: (1 — x<sup>2</sup>)d<sup>2</sup>Pm/dx<sup>2</sup> — (2x)dPm/dx + m(m + 1)P<sub>m</sub> = 0 для случая m = ∞, а именно вводя новую переменную ξ и новую функцию η положениями ξ = m√(1—x<sup>2</sup>) η = (1 — x<sup>2</sup>)<sup>½n</sup>(dnPn/dx<sup>n</sup>) получим, полагая m бесконечно большим, дифференциальное уравнение, удовлетворяемое Б.-ою функцией n-го порядка, написанное выше. <i> Литература. </i>Работы самого Бесселя о функциях, носящих его имя, помещены в собрании его сочинений, изд. Энгельмана т. I. Затем специально Б.-м функциям посвящены труды: Неймана (Neumann), "Theorie der Bessel‘schen Functionen"; Ломмеля (Lommel), "Studien ü ber die Bessel‘schen Functionen". Весьма полное исследование этих функций можно найти в трактате Гейне (Heine) "Handbuch der Kugelfunctionen" (2-е изд.) и в более элементарном учебнике Тодгентера (Todhunter), "An elementary Treatise on the functions of Laplace, Lam é and Bessel". Таблицы численных значений Б.-вых функций для практических приложений их находятся в работе Бесселя, в статье Гансена об определении абсолютных возмущений и подробнее других в специальных таблицах Мейсселя (Meissel).<br><br><br>... смотреть